集合思想及應(yīng)用

　　集合是高中數(shù)學(xué)的基本知識，為歷年必考內(nèi)容之一，主要考查對集合基本概念的認(rèn)識和理解，以及作為工具，考查集合語言和集合思想的運用。本節(jié)主要是幫助考生運用集合的觀點，不斷加深對集合概念、集合語言、集合思想的理解與應(yīng)用。

　　●難點磁場

　?。ā铩铩铩铩铮┮阎螦={（x,y）|x2+mx-y+2=0},B={（x,y）|x-y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B≠ ,求實數(shù)m的取值范圍。

　　●案例探究

　　[例1]設(shè)A={（x,y）|y2-x-1=0},B={（x,y）|4x2+2x-2y+5=0},C={（x,y）|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得（A∪B）∩C= ，證明此結(jié)論。

　　命題意圖：本題主要考查考生對集合及其符號的分析轉(zhuǎn)化能力，即能從集合符號上分辨出所考查的知識點，進(jìn)而解決問題。屬★★★★★級題目。

　　知識依托：解決此題的閃光點是將條件（A∪B）∩C= 轉(zhuǎn)化為A∩C= 且B∩C= ，這樣難度就降低了。

　　錯解分析：此題難點在于考生對符號的不理解，對題目所給出的條件不能認(rèn)清其實質(zhì)內(nèi)涵，因而可能感覺無從下手。

　　技巧與方法：由集合A與集合B中的方程聯(lián)立構(gòu)成方程組，用判別式對根的情況進(jìn)行限制，可得到b、k的范圍，又因b、k∈N,進(jìn)而可得值。

　　解：∵（A∪B）∩C= ，∴A∩C= 且B∩C= ∵ ∴k2x2+（2bk-1）x+b2-1=0

　　∵A∩C= ∴Δ1=（2bk-1）2-4k2（b2-1）<0

　　∴4k2-4bk+1<0,此不等式有解，其充要條件是16b2-16>0,即b2>1 ①

　　∵ ∴4x2+（2-2k）x+（5+2b）=0

　　∵B∩C= ,∴Δ2=（1-k）2-4（5-2b）<0

　　∴k2-2k+8b-19<0,從而8b<20,即b<2.5 ②

　　由①②及b∈N,得b=2代入由Δ1<0和Δ2<0組成的不等式組，得

　　∴k=1,故存在自然數(shù)k=1,b=2,使得（A∪B）∩C= .

　　[例2]向50名學(xué)生調(diào)查對A、B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果：贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對A、B都不贊成的學(xué)生數(shù)比對A、B都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人。問對A、B都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各有多少人？

　　命題意圖：在集合問題中，有一些常用的方法如數(shù)軸法取交并集，韋恩圖法等，需要考生切實掌握。本題主要強(qiáng)化學(xué)生的這種能力。屬★★★★級題目。

　　知識依托：解答本題的閃光點是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來。

　　錯解分析：本題難點在于所給的數(shù)量關(guān)系比較錯綜復(fù)雜，一時理不清頭緒，不好找線索。

　　技巧與方法：畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系。

　　解：贊成A的人數(shù)為50× =30，贊成B的人數(shù)為30+3=33，如上圖，記50名學(xué)生組成的集合為U，贊成事件A的學(xué)生全體為集合A;贊成事件B的學(xué)生全體為集合B.

　　設(shè)對事件A、B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x,則對A、B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為 +1,贊成A而不贊成B的人數(shù)為30-x，贊成B而不贊成A的人數(shù)為33-x.

　　依題意（30-x）+（33-x）+x+（ +1）=50,解得x=21.

　　所以對A、B都贊成的同學(xué)有21人，都不贊成的有8人。

　　●錦囊妙計

　　1.解答集合問題，首先要正確理解集合有關(guān)概念，特別是集合中元素的三要素；對于用描述法給出的集合{x|x∈P},要緊緊抓住豎線前面的代表元素x以及它所具有的性質(zhì)P;要重視發(fā)揮圖示法的作用，通過數(shù)形結(jié)合直觀地解決問題。

　　2.注意空集 的特殊性，在解題中，若未能指明集合非空時，要考慮到空集的可能性，如A B,則有A= 或A≠ 兩種可能，此時應(yīng)分類討論。